Question

【题目】设函数，其中.

（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（2）求函数的极值点；

（3）当时，试证明对任意的正整数，不等式都成立.

Answer 1

【答案】（1）函数在定义域上单调递增（2）答案不唯一，具体见解析（3）详见解析

【解析】

（1）分析函数定义域，求导数，当时，恒成立，即可写出函数单调区间（2）由（1）中，分，，，四种情况分类讨论函数的单调性，写出函数极值点（3）观察不等式构造函数，利用导数可证在上单调递增，可知恒成立，令即可证明.

（1）函数的定义域为①，

，

令，则，由，得，

即在上恒成立，所以.

即当时，函数在定义域上单调递增.

（2）①由（1）知，当时，函数无极值点.

②当时，，

因为当时，，时，，

所以当时，函数在上无极值点.

③当时，解，得，.

当时，，，所以，，

且时，，时，

，此时在上有唯一的极小值点.

当时，，，

在，上都大于0，在上小于0，

此时有一个极大值点和一个极小值点.

综上可知，当时，在上有唯一的极小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点；

当时，函数在上无极值点.

（3）证明：当时，，

令，

则，

显然在上恒为正，

所以在上单调递增，即当时，恒有，

所以当时，有，

即，所以对任意正整数，取，可得恒成立.