Question

【题目】已知函数，其中．

Ⅰ如果曲线与x轴相切，求a的值；

Ⅱ若，证明：；

Ⅲ如果函数在区间上不是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）（-ln2，1）

【解析】

（Ⅰ）先求导，再根据导数的几何意义即可求出，

（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e，根据导数和函数单调性的关系以及最值得关系，即可证明

（Ⅲ）先求出函数g（x）在（1，e）上是单调函数a的范围即可，求导，分离参数构造函数，求出函数的最值即可．

解：（I）求导．得f′（x）=-1=

∵曲线y=f（x）与x轴相切，∴此切线的斜率为0．

由f′（x）=0，解得x=1，

又由曲线y=（x）与x轴相切，得f（1）=-1+a=0

解得a=1．

（II）证明：由题意，f（x）=lnx-x+ln2e，

令函数F（x）=f（x）-x=lnx-2x+ln2e

求导，得F′（x）=-2=

由F′（x）=0，得x=，

当x变化时，F′（x）与F（x）的变化情况如下表所示：

x	（0，）		（，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	增	极大值	减

∴函数F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）单调递减，

故当x=时，F（x）max=F（）=ln-1+ln2e=0，

∴任给x∈（0，+∞），F（x）=f（x）-x≤0，即f（x）≤x，

（Ⅲ）由题意可得，g（x）=，

∴g′（x）=，

当g′（x）≥0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递增，

当g′（x）≤0时，在（1，e）上恒成立，函数g（x）单调递减，

∴x-2lnx+1-2a≥0在（1，e）上恒成立，或x-2lnx+1-2a≤0在（1，e）上恒成立，

∴2a≤x-2lnx+1在（1，e）上恒成立，或2a≥x-2lnx+1在（1，e）上恒成立，

令h（x）=x-2lnx+1，

∴h′（x）=1-=，

由h′（x）=0，解得x=2，

当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，

当x∈（2，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，

∵h（1）=2，h（e）=e-2+1=e-1，

∴h（x）max=h（1）=2

∴h（x）min=h（2）=3-2ln2，

∴2a≥2或2a≤3-2ln2，

∴a≥1或a＜-ln2，

∵函数在区间（1，e）上不是单调函数，

∴-ln2＜a＜1，

故a的取值范围为（-ln2，1）．