Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G为棱AD、AB、A₁A的中点．
（1）求证：平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（3）求异面直线FG、B₁C所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接BD，根据三角形中位线定理，结合正方体的几何特征，我们易得EF∥B₁D₁，同理可得GE∥B₁C，进而根据面面平行的判定定理即可得到平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）根据正方体的几何特征，我们可得A₁A⊥B₁D₁，A₁C₁⊥B₁D₁，进而根据线面垂直的判定定理，可得B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（3）根据（1）中结论GE∥B₁C，我们易得∠EGF即为异面直线FG、B₁C所成的角，解三角形GEF即可得到答案．
解答：解：（1）连接BD，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
对角线BD∥B₁D₁，
又∵E、F为棱AD、AB的中点．
∴EF∥BD
∴EF∥B₁D₁，
同理可证：GE∥B₁C，
又∵EF∩GE=E，B₁D₁∩B₁C=B₁，
∴平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴A₁A⊥B₁D₁，
又∵在正方体A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
A₁A∩A₁C₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁，
又∵B₁D₁?平面CB₁D₁，
∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（3）由（1）得GE∥B₁C，
故∠EGF即为异面直线FG、B₁C所成的角
由正方体的几何牲易得EF=EG=FG
∴△EGF为等边三角形，∠EGF=60°
即异面直线FG、B₁C所成的角为60°
点评：本题考查的知识点是平面与平面平行的判定，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，其中熟练掌握正方体的几何特征，分析出其中线段的平行和垂直关系，结合面面平行及面面垂直的判定定理，对结论进行论证是解答本题的关键．