题目内容

已知a1=2，点（an，an+1）在函数f（x）=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…
（1）证明数列{lg（1+an）}是等比数列；
（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）…（1+an），求Tn及数列{an}的通项；
（3）记，求数列{bn}的前n项Sn，并证明．
【答案】分析：（1）把点（an，an+1）代入函数式，整理得an+1+1=（an+1）2，两边取对数整理得，进而判断{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
（2）根据等比数列的通项公式求的数列{lg（1+an）}的通项公式，进而求的an代入到Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）求的Tn．
（3）把（2）求的an代入到，用裂项法求和求得项，又，原式得证．
解答：解：（Ⅰ）由已知an+1=an2+2an，
∴an+1+1=（an+1）2
∵a1=2
∴an+1＞1，两边取对数得lg（1+an+1）=2lg（1+an），
即
∴{lg（1+an）}是公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知lg（1+an）=2n-1•lg（1+a1）=
∴∴
∴Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an）===
（Ⅲ）∵an+1=an2+2an
∴an+1=an（an+2）
∴
∴
又
∴
∴Sn=b1+b2++bn==
∵
∴
又
∴．
点评：本题主要考查了等比关系的确定和数列的求和问题．考查了学生对数列知识的综合掌握．
练习册系列答案
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下列给出的四个命题中：
①已知数列{an}，那么对任意的n∈N*，点Pn（n，an）都在直线y=2x+1上是{an}为等差数列的充分不必要条件；
②“m=-2”是“直线（m+2）x+my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与坐标轴有4个交点，分别为A（x1，0），B（x2，0），C（0，y1），D（0，y2），则x1x2-y1y2=0；
④在实数数列{an}中，已知a1=0，|a2|=|a1-1|，|a3|=|a2-1|，…，|an|=|an-1-1|，则a1+a2+a3+a4的最大值为2．
其中为真命题的是
 
（写出所有真命题的代号）．
已知：α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=
2
，
求：二面角A1-AB-B1的大小的正弦值．
（2012•烟台二模）设向量
a
=（a1，a2），
b
=（b2，b2），定义一种向量
a
?
b
=（a1，a2）?（b1，b2）=（a1b2，a2b2）．已知
m
=(2，
1
2
)，
n
=(
π
3
，0)，点，（x，y）在y=sin x的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动且满足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中O为坐标原点），则y=f（x）的最大值为（　　）
（1）如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）若点A（2，2）在矩阵M=
.
cosα-sinα
sinαcosα
.
对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵；
（3）在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值；
（4）已知a1，a2…an都是正数，且a1•a2…an=1，求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n．
已知函数f(x)=
x
x2+1
．
（1）求出函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈(-
3
4
，+∞)时，证明函数y=f（x）图象在点(
1
3
，
3
10
)处切线的下方；
（3）利用（2）的结论证明下列不等式：“已知a，b，c∈(-
3
4
，+∞)，且a+b+c=1，证明：
a
a2+1
+
b
b2+1
+
c
c2+1
≤
9
10
”；
（4）已知a1，a2，…，an是正数，且a1+a2+…+an=1，借助（3）的证明猜想
n
k=1
ak
a
2
k
+1
的最大值．（只指出正确结论，不要求证明）

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