Question

（2012•黄浦区一模）已知函数f（x）=2sin2x+2

3

sinxcosx-1(x∈R)．
（1）试说明函数f（x）的图象是由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到的；
（2）若函数g（x）=

1

2

|f(x+

π

12

)| +

1

2

|f(x+

π

3

)|( x∈R)，试判断函数g（x）的奇偶性，并用反证法证明函数g（x）的最小正周期是

π

4

；
（3）求函数g（x）的单调区间和值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数即可，再利用图象变换规律可得变换方法；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-

π

6

），从而可得g（x）=

1

2

|f(x+

π

12

)| +

1

2

|f(x+

π

3

)|=|sin2x|+|cos2x|，利用函数奇偶性的定义进行证明，再用反证法证明T=

π

4

是函数g（x）的最小正周期；
（3）先求函数g（x）在一个周期[0，

π

4

]内的单调区间和函数值的取值范围；再依据周期函数的性质，可得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=2sin2x+2

3

sinxcosx-1=

3

sin2x-cos2x，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）（x∈R）．
∴函数f（x）的图象可由y=sinx的图象按如下方式变换得到：
①将函数y=sinx的图象向右平移

π

6

个单位，得到函数y=sin（x-

π

6

）的图象；
②将函数y=sin（2x-

π

6

）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x-

π

6

）的图象；
③将函数y=sin（2x-

π

6

）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2sin（2x-

π

6

）的图象．
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-

π

6

），
∴g（x）=

1

2

|f(x+

π

12

)| +

1

2

|f(x+

π

3

)|=|sin2x|+|cos2x|．
又对任意x∈R，g（-x）=g（x），∴函数g（x）是偶函数．
∵g（x+

π

4

）=|cos2x|+|sin2x|=g（x），
∴g（x）是周期函数，T=

π

4

是它的一个周期．
现用反证法证明T=

π

4

是函数g（x）的最小正周期．
反证法：假设T=

π

4

不是函数g（x）的最小正周期，设T₁（0＜T₁＜

π

4

）是g（x）的最小正周期．
则g（x+T₁）=g（x），即|cos（2x+2T₁）|+|sin（2x+2T₁）|=|sin2x|+|cos2x|．
令x=0，得sin2T₁+cos2T₁=1，两边平方后化简，得sin2T₁×cos2T₁=0，这与sin2T₁≠0且cos2T₁≠0，矛盾．因此，假设不成立．
所以，函数g（x）的最小正周期是

π

4

．
（3）先求函数g（x）在一个周期[0，

π

4

]内的单调区间和函数值的取值范围．
当x∈[0，

π

4

]时，g（x）=sin2x+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

），且

π

4

≤2x+

π

4

≤

3

4

π．
易知，此时函数g（x）的单调增区间是[0，

π

8

]，单调减区间是[

π

8

，

π

4

]；
函数的取值范围是1≤g（x）≤

2

．
因此，依据周期函数的性质，可知函数g（x）=|sin2x|+|cos2x|的单调增区间是[

kπ

4

，

kπ

4

+

π

8

]（k∈Z）；单调减区间是[

kπ

4

+

π

8

，

kπ

4

+

π

4

]（k∈Z）．
函数g（x）的值域是[1，

2

]．

点评：本题考查三角函数的化简，考查图象的变换，考查函数的周期，考查反证法，考查函数的单调性与值域，综合性强．