题目内容
(2012•黄浦区一模)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,BC⊥AB,侧面SAB为正三角形,AB=BC=4,CD=SD=2.如图所示.
(1)证明:SD⊥平面SAB;
(2)求四棱锥S-ABCD的体积VS-ABCD.
(1)证明:SD⊥平面SAB;
(2)求四棱锥S-ABCD的体积VS-ABCD.
分析:(1)证明线面垂直,利用线面垂直的判定定理,证明SD⊥SA,SD⊥SB即可;
(2)利用等体积,计算顶点S到底面ABCD的距离,再计算四棱锥S-ABCD的体积.
(2)利用等体积,计算顶点S到底面ABCD的距离,再计算四棱锥S-ABCD的体积.
解答:(1)证明:∵直角梯形ABCD,AB∥CD,BC⊥AB,侧面SAB为正三角形,AB=BC=4,CD=SD=2,
∴BD=2
,AD=2
.
∴在△DSA和△DSB中,有SA2+SD2=42+22=AD2,SB2+SD2=42+22=BD2.
∴SD⊥SA,SD⊥SB
∵SA∩SB=S.
∴SD⊥平面SAB;
(2)解:设顶点S到底面ABCD的距离为h.结合几何体,可知VD-SAB=VS-ABD.
又S△SAB=
SA×SB×sin60°=4
,S△ABD=
AB×BC=8,
于是,
S△SAB×SD=
S△ABDh,解得h=
.
所以四棱锥S-ABCD的体积VS-ABCD=
VS-ABCD×h=
×
×
=4
.
∴BD=2
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∴在△DSA和△DSB中,有SA2+SD2=42+22=AD2,SB2+SD2=42+22=BD2.
∴SD⊥SA,SD⊥SB
∵SA∩SB=S.
∴SD⊥平面SAB;
(2)解:设顶点S到底面ABCD的距离为h.结合几何体,可知VD-SAB=VS-ABD.
又S△SAB=
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于是,
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所以四棱锥S-ABCD的体积VS-ABCD=
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(4+2)×4 |
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3 |
3 |
点评:本题考查线面垂直,考查体积的计算,解题的关键是利用线面垂直的判定定理,正确运用体积公式.
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