题目内容

(2012•黄浦区一模)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,BC⊥AB,侧面SAB为正三角形,AB=BC=4,CD=SD=2.如图所示.
(1)证明:SD⊥平面SAB;
(2)求四棱锥S-ABCD的体积VS-ABCD
分析:(1)证明线面垂直,利用线面垂直的判定定理,证明SD⊥SA,SD⊥SB即可;
(2)利用等体积,计算顶点S到底面ABCD的距离,再计算四棱锥S-ABCD的体积.
解答:(1)证明:∵直角梯形ABCD,AB∥CD,BC⊥AB,侧面SAB为正三角形,AB=BC=4,CD=SD=2,
∴BD=2
5
,AD=2
5
. 
∴在△DSA和△DSB中,有SA2+SD2=42+22=AD2,SB2+SD2=42+22=BD2
∴SD⊥SA,SD⊥SB
∵SA∩SB=S.
∴SD⊥平面SAB;
(2)解:设顶点S到底面ABCD的距离为h.结合几何体,可知VD-SAB=VS-ABD
S△SAB=
1
2
SA×SB×sin60°
=4
3
S△ABD=
1
2
AB×BC=8

于是,
1
3
S
△SAB
×SD=
1
3
S
△ABD
h
,解得h=
3

所以四棱锥S-ABCD的体积VS-ABCD=
1
3
V
S-ABCD
×h=
1
3
×
(4+2)×4
2
×
3
=4
3
点评:本题考查线面垂直,考查体积的计算,解题的关键是利用线面垂直的判定定理,正确运用体积公式.
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