(2012•黄浦区一模)已知a＜b.且a2-a-6=0.b2-b-6=0.数列{an}.{bn}满足a1=1.a2=-6a.an+1=6an-9an-1(n≥2.n∈N*).bn=an+1-ban(n∈N*)．(1)求证数列{bn}是等比数列,(2)已知数列{cn}满足cn=an3n(n∈N*).试建立数列{cn}的递推公式(要求不含an或bn),(3)若数列{an}的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2012•黄浦区一模）已知a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，数列{a_n}、{b_n}满足a₁=1，a₂=-6_a，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*）．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）已知数列{c_n}满足c_n=

（n∈N^*），试建立数列{c_n}的递推公式（要求不含a_n或b_n）；
（3）若数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

分析：（1）由a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，解得a=-2，b=3，a₂=-12．由a₁=1，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*），得到b_n+1=a_n+2-3a_n+1=3b_n（n∈N^*）．由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（2）由bn=3n+1(n∈N*)，得

an+1

3n+1

=1，(n∈N*)．由此能够推导出数列{c_n}的递推公式．
（3）由c_n=

3n-2

，（n∈N^*），得an=3n•cn=（3n-2）•3^n-1，（n∈N^*）．由此利用错位相减法能够求出数列{a_n}的前n项和．

解答：（1）证明：∵a＜b，且a²-a-6=0，b²-b-6=0，
∴a=-2，b=3，a₂=-12．
∵a₁=1，a_n+1=6a_n-9a_n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+1-ba_n（n∈N^*），
∴b_n+1=a_n+2-3a_n+1
=6a_n+1-9a_n-3a_n+1
=3（a_n+1-3a_n）
=3b_n（n∈N^*）．
又b₁=a₂-3a₁=9，
∴数列{b_n}是公比为3，首项为b₁的等比数列．
（2）解：由（1）得bn=3n+1(n∈N*)．
于是，有an+1-3an=3n+1（n∈N^*），
即

an+1

3n+1

=1，(n∈N*)．
又cn=

，（n∈N^*），则c_n+1-c_n=1，n∈N^*．
因此，数列{c_n}的递推公式是

c1=

cn+1-cn=1

，n∈N*．
（3）解：由（2）可知，数列{c_n}是公差为1，首项为

的等差数列，
于是c_n=

3n-2

，（n∈N^*）．
故an=3n•cn=（3n-2）•3^n-1，（n∈N^*）．
因此，S_n=a₁+a₂+…+a_n
=1+4•3+7•3²+…+（3n-2）•3^n-1，
3S_n=1•3+4•3²+7•3³+…+（3n-2）•3ⁿ，
将上述两个等式相减，
得-2Sn=1+32+33+…+3n-(3n-2)•3n=1+

9(1-3n-1)

1-3

-（3n-2）•3ⁿ，
∴2S_n=n•3ⁿ⁺¹-

•3n+

．
所以Sn=

n•3n+1-

•3n+

，（n∈N^*）．

点评：本题考查等比数列的证明，数列的递推公式的推导，数列前n项和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．