题目内容

在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
AB
•
AC
=
CA
•
CB
=k（k∈R）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若k=1，求b的值．
分析：（1）利用复数的数量积化简，然后再用正弦定理推出三角形的形状．
（2）利用（1）的结论及平面向量的数量积和余弦定理求得b的值．
解答：解：（1）∵
AB
•
AC
=cbcosA，
CA
•
CB
=bacosC，∴bccosA=abcosC
根据正弦正理，得sinCcosA=sinAcosC
即sinAcosC-cosAsinC=0，∴sin（A-C）=0
A=C 所以三角形是等腰三角形．
（2）由（1）知a=c∴由余弦定理，得
AB
•
AC
=bccosA=bc•
b2+c2-a2
2bc
=
b2
2

∵
AB
•
AC
=k=1∴
b2
2
=1，得b=
2
．
点评：本题考查平面向量的数量积，正弦定理、余弦定理，考查运算能力，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=2sinx（cosx-sinx），其中x∈R
（1）求函数f（x）的最小正周期，并从下列的变换中选择一组合适变换的序号，经过这组变换的排序，可以把函数y=sin2x的图象变成y=f（x）的图象；（要求变换的先后顺序）
①纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
2
倍，
②纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，
③横坐标不变，纵坐标变为原来的
2
倍，
④横坐标不变，纵坐标变为原来的
2
2
倍，
⑤向上平移一个单位，⑥向下平移一个单位，
⑦向左平移
π
4
个单位，⑧向右平移
π
4
个单位，
⑨向左平移
π
8
个单位，⑩向右平移
π
8
个单位，
（2）在△ABC中角A，B，C对应边分别为a，b，c，f（A）=0，b=4，S△ABC=6，求a的长．
在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+
12
sinC=sinB．
（Ⅰ）求角A的大小；
 （Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．
（2012•绵阳二模）已知向量
m
=（cosωx，sinωx），
n
=（cosωx，2
3
cosωx-sinωx）（x∈R，ω＞0）函数f（x）=|
m
|+
m
•
n
且最小正周期为π，
（1）求函数，f（x）的最大值，并写出相应的x的取值集合；
（2）在△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f（B）=2，c=3，S△ABC=6
3
，求b的值．
（2010•江西模拟）已知函数f(x)=(
3
sinωx+cosωx)cosωx-
1
2
，（ω＞0）的最小正周期为4π．
（1）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=π对称，求y=g（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中角A，B，C，的对边分别是a，b，c满足（2a-c）cosB=b•cosC，求函数f（A）的取值范围．
（2010•莆田模拟）在△ABC，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+b2=c2-ab
（1）求角C的大小；
（2）若cosA=
3
3
，求sinB的值．

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