Question

在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+

1

2

sinC=sinB．
（Ⅰ）求角A的大小；
 （Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形中的正弦定理及余弦定理将已知等式中的三角函数的关系转化为三边间的关系，再利用余弦定理求出角A
另一方法：利用三角形的内角和为π，将已知等式中的角B用角A，C表示，再利用两角和的正弦公式展开，求出角C
（II）将a=2代入（I）得到的三边间的关系，利用基本不等式将bc用b+c表示，解关于b+c的不等式求出b+c的范围．

解答：解：（Ⅰ）∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
由正弦定理及余弦定理得a×

a2+b2-c2

2ab

+

1

2

c=b
∴a²=b²+c²-bc
由余弦定理得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

另解：∵sinAcosC+

1

2

sinC=sinB
∴sinAcosC+

1

2

sinC=sinAcosC+cosAsinC
∵A∈（0，π），
∴sinC≠0，
从而cosA=

1

2

∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

（Ⅱ） 由已知及（Ⅰ）知得  
4=a²=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc
4≥(b+c)2-

3

4

(b+c)2=

1

4

(b+c)2
∴b+c≤4，当且仅当b=c=2时取“=”．
∴当b=c=2时，△ABC周长的最大值为6

点评：解决三角形问题，一般利用三角形的正弦定理、余弦定理实现三角形中的边、角间的相互转化；利用基本不等式求函数的最值时，一定注意需要满足的条件：一正、二定、三相等．