题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（2，0），且离心率为
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点N（
2
，0）且斜率为
6
3
的直线l与椭圆C交于A，B两点，求证：
OA
•
OB
=0．
分析：（I）利用椭圆的性质即可得出；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得直线l的方程为：y=
6
3
(x-
2
)．与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，再利用向量的数量积即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知，
a=2
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
，解得
a=1，b=1
c=
3
，
∴椭圆的方程为
x2
4
+y2=1．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由题意可得直线l的方程为：y=
6
3
(x-
2
)．
l联立
y=
6
3
(x-
2
)
x2
4
+y2=1
消去y得：11x2-16
2
x+4=0，
∴x1+x2=
16
2
11
，x1x2=
4
11
．
∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+
2
3
(x1-
2
)(x2-
2
)=
5
3
x1x2-
2
2
3
(x1+x2)+
4
3
=
20
33
-
64
33
+
4
3
=0．
∴
OA
•
OB
=0．
点评：熟练掌握椭圆的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的数量积等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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