Question

三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，x+y=4，当三棱锥O-ABC的体积最大时，则异面直线AB和OC间的距离等于（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

分析：由已知中三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两互相垂直，OC=1，OA=x，OB=y，我们易得到三棱锥O-ABC体积的表达式，又由x+y=4，结合基本不等式，即可得到体积的最大值，在这个条件下求出两条异面直线的距离．

解答：解：∵x＞0，y＞0且x+y=4，
由基本不等式得：
xy≤(

x+y

2

)2=4
又∵OA、OB、OC两两互相垂直，OC=1，
∴三棱锥O-ABC体积V=

1

3

×

1

2

×OA×OB×OC=

1

6

xy≤

2

3

当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=2
即OA=OB=2，
根据OA、OB、OC两两垂直，得到两条异面直线的距离是过O点在平面OAB上做AB的垂线，
在等腰直角三角形中得到垂线的长度是

2

，
故选B

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据基本不等式求出xy在体积取得最大值时对应的长度，是解答本题的关键．