题目内容

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2）其中a₃=95
（1）求a₁，a₂的值
（2）若存在一个实数λ使得{ $数学公式$ }为等差数列求λ的值
（3）求数列{a_n}前n项的和S_n．

解：（1）由题设条件知a₂=3a₁+3¹-1，a₃=3a₂+3³-1=95，解得a₁=7，a₂=23
（2）若存在一个实数λ使得{ $\text{[math]}$ }为等差数列，则有 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2× $\text{[math]}$ ，将a₁=7，a₂=23，a₃=95代入解得λ=-5
（3）由（2）{ $\text{[math]}$ }为等差数列其首项为 $\text{[math]}$ ，公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故a_n=4n×3^n-1-2×3^n-1+5
令A_n为数列{4n×3^n-1}的前n项和，则S_n=A_n-2×（3⁰+3¹+…+3^n-1）+5n=A_n+1-3ⁿ+5n
由于A_n=4×（1×3⁰+2×3¹+3×3²+…+n×3^n-1）
3A_n=4×（1×3¹+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）
故-2A_n=4×（3⁰+3¹+3²+…+3^n-1-n×3ⁿ）=4×（ $\text{[math]}$ -n×3ⁿ）
A_n=2×（3ⁿ-1）+4×（n×3ⁿ）
所以S_n=2×（3ⁿ-1）+4×（n×3ⁿ）+1-3ⁿ+5n
分析：（1）求a₁，a₂的值，由题设条件，{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2）其中a₃=95求解即可
（2）若存在一个实数λ使得{ $\text{[math]}$ }为等差数列求λ的值可根据等差数列的性质建立方程求参数；
（3）求数列{a_n}前n项的和S_n．可以由（2）求出数列{a_n}的通项，再根据其形式先分组，在各组中分别用错位相减法求和，公式求和的技巧求和．
点评：本题考点是数列的求和，考查了公式法求和以及错位相减法求和等技巧，学习时要注意积累常见的求和技巧，总结其规律．

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