Question

已知椭圆C（a＞b＞0，λ₁＞0）和双曲线C，给出下列命题：
①对于任意的正实数λ₁，曲线C₁都有相同的焦点；
②对于任意的正实数λ₁，曲线C₁都有相同的离心率；
③对于任意的非零实数λ₂，曲线C₂都有相同的渐近线；
④对于任意的非零实数λ₂，曲线C₂都有相同的离心率．
其中正确的为（ ）
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：通过椭圆与双曲线的方程求出它们的焦点，离心率，渐近线即可得到结论．
解答：解：对于任意的正实数λ₁，椭圆C（a＞b＞0，λ₁＞0）
可知，c²=，离心率的平方e²==，
故对于任意的正实数λ₁，曲线C₁不都有相同的焦点；曲线C₁都有相同的离心率．
对于任意的非零实数λ₂，双曲线C，
可知曲线C₂都有相同的渐近线；
但是当λ₂＞0时，离心率的平方e²==，
当λ₂＜0时，离心率的平方e²==，
∴对于任意的非零实数λ₂，曲线C₂都有相同的渐近线；曲线C₂不都有相同的离心率．
故选C．
点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．属于基础题．