Question

设函数f（x）=-

1

3

ax³+x²+1（a≤0），求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：本题考查利用导数求函数的单调区间，这一点不是很难，但要注意对a进行分类讨论．

解答：解：①当a=0时，f（x）=x²+1，其减区间为（-∞，0），增区间为（0，+∞）．
②当a＜0时，∵f′（x）=-ax²＜+2x，f′（x）＞0
?（-ax+2）x＞0?（x-

2

a

）x＞0?x＞0或x＜

2

a

．f′（x）＜0?

2

a

＜x＜0．
故f（x）的递增区间为（-∞，

2

a

）和（0，+∞），递减区间为（

2

a

，0）．
综上：当a=0时，f（x）的递增区间为（0，+∞），递减区间为（-∞，0）；当a＜0时，f（x）的递增区间为（-∞，

2

a

）和（0，+∞），递减区间为（

2

a

，0）．

点评：本小题主要考查导数的运算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想．