Question

(1)判断下列函数的奇偶性:

   ①f(x)=|sinx|+cosx;

   ②y=.

(2)若函数f(x)=sin(x+φ)为偶函数,求φ的值.

Answer 1

解:(1)①函数f(x)=|sinx|+cosx的定义域是R,

∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|-sinx|+cosx=|sinx|+cosx=f(x),

∴f(x)是偶函数.

②当x=时,1+sinx+cosx=2,

当x=时,1+sinx+cosx=0,函数无意义.

∴函数的定义域不关于原点对称,该函数是非奇非偶函数.

(2)∵f(x)=sin(x+φ)是偶函数,

∴f(-x)=f(x),

即sin(-x+φ)=sin(x+φ)(x∈R).

∴sin(x+φ)+sin(x-φ)=0(x∈R).

∴2sinxcosφ=0(x∈R).

∵当x∈R时,sinx不恒为零,

∴cosφ=0,φ=kπ+(k∈Z).

点评:判断函数奇偶性，首先判断其定义域是否在x轴上关于原点对称，然后判断f(-x)与±f(x)的关系.注意理解f(x)为偶函数的充要条件是f(-x)=f(x)对其定义域内一切x恒成立的含义.