Question

设f(x)=

2x2

x+1

，g（x）=ax+5-2a（a＞0）．
（1）求f（x）在x∈[0，1]上的值域；
（2）若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的值域问题可用导数法；注意到分母为x²，可分子分母同除以x²，将分母变为关于

1

x

的二次函数解决；
还可以将分母换元，转化为用双钩函数求最值．
（2）对于任意x₁∈[0，1]，f（x₁）范围由（1）可知，由题意即g（x）的值域包含f（x）的值域，转化为集合的关系问题．

解答：解：（1）法一：（导数法）f′(x)=

4x(x+1)-2x2

(x+1)2

=

2x2+4x

(x+1)2

≥0在x∈[0，1]上恒成立．
∴f（x）在[0，1]上增，
∴f（x）值域[0，1]．
法二：f(x)=

0          x=0 2 1 x + 1 x2 x∈(0，1]

，用复合函数求值域．
法三：f(x)=

2x2

x+1

=2(x+1)+

2

x+1

-4
用双勾函数求值域．
（2）f（x）值域[0，1]，g（x）=ax+5-2a（a＞0）在x∈[0，1]上的值域[5-2a，5-a]．
由条件，只须[0，1]⊆[5-2a，5-a]．
∴

5-2a≤0 5-a≥1

?

5

2

≤a≤4．

点评：本题考查函数的值域问题，任意性和存在性命题问题，考查对题目的理解和转化能力．