Question

设f(x)=

2x2

x+1

，g(x)=ax+5-2a(a＞0)，若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[

  5

  2

  ，4]
• B、[-

  1

  2

  ，2]
• C、[1，4]
• D、[

  1

  2

  ，

  5

  2

  ]

Answer 1

分析：根据对于任意x₁∈[0，1]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，得到函数f（X）在[0，1]上值域是g（X）在[0，1]上值域的子集，下面利用导数求函数f（x）、g（x）在[0，1]上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围

解答：解：∵f(x)=

2x2

x+1

，
∴f′（x）=

2x(x+2)

(x+1)2

，
当x∈[0，1]，f′（x）≥0．
∴f（x）在[0，1]上是增函数，
∴f（x）的值域A=[0，1]；
又∵g（x）=ax+5-2a（a＞0）在[0，1]上是增函数，
∴g（X）的值域B=[5-2a，5-a]；
根据题意，有A⊆B
∴

5-2a≤0 5-a≥1 a＞0

，即

5

2

≤a≤4．
故选A．

点评：此题是个中档题．考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，