Question

已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F₁（-,0），F₂（,0）,点F₁到直线x=-的距离为,过点F₂且倾斜角为锐角的直线l与椭圆交于A、B两点，使得|F₂B|=3|F₂A|.

（1）求椭圆的方程；

（2）求直线l的方程.

Answer 1

解：（1）∵F₁到直线x=-的距离为，?

∴-+=，∴a²=4.?

而c=,

∴b²=a²-c²=1.

∵椭圆的焦点在x轴上，?

∴所求椭圆的方程为+y²=1.

（2）设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）.

l的方程为y=k（x-）（k＞0）.

由|F₂B|=3|F₂A|得y₂=-3y₁，

即k（x₂-）=-3k（x₁-）.

∴3x₁+x₂=4.                                 ①?

由

得（4k²+1）x²-8k²x+4（3k²-1）=0.?

∴x₁+x₂=                              ②

x₁x₂=                               ③

由①②③解得k²=2，?

∴k=.?

∴直线l的方程为y=（x-）.