Question

【题目】在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，∥，，，，，为的中点，为的中点。

（1）求证：∥平面；

（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）利用面外线与面内线平行证明面外线平行于平面。

（2）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量的夹角余弦值，来求二面角的平面角的余弦值，或用几何法找到二面角的平面角来求余弦值。

（1）连接交于，并连接，，

，，为中点，，且，

四边形为平行四边形，

为中点，又为中点，，

平面，平面，平面.

（2）〖解法1〗（向量法）连接，由E为AD的中点及，

得则，∵侧面底面，且交于，

∴面，

如图所示，以E为原点，EA、EB、EP分别为

x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则，，，C.

∵为的中点，∴F

∴，

设平面EBF法向量为，则,

取,

平面EBA法向量可取：,

设二面角F-BE-A的大小为，显然为钝角，

∴,

∴二面角F-BE-A的余弦值为

（2）〖解法2〗（几何法1）连接，

由E为AD的中点及，

得∵，

取中点，连，，，

侧面底面，且交于，，

∴面

∵ 面 面

∴

∵为的中点，为的中点

，

∴

∴∠MEA为二面角F-BE-A的平面角

在中，，

在中，由余弦定理得

∴在中，由余弦定理得cos∠MEA，

所以二面角F-BE-A的余弦值为.

（2）〖解法3〗（几何法2）连接，由E为AD的中点及，

得侧面底面，∴面，

∵，

连交于点，则为中点，连，，，

∵为的中点，∴，面，

又，∴ ∴

∴∠FNQ为二面角F-BE-A的平面角的补角

在中，，

由勾股定理得

∴cos∠FNQ，

所以二面角F-BE-A的余弦值为.