Question

【题目】己知函数， ．

(I)求函数的单调区间；

(II)设，已知函数在上是增函数．

(1)研究函数上零点的个数；

(ii)求实数c的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）(1)1个;(2) .

【解析】试题分析(1) 对函数求导,①当时， 在上是减函数，在上是增函数；②当时， 在上是增函数，在上是减函数；(2) （1）当时，函数 ， , 在上单调递减．又， ，由函数的零点存在性定理及其单调性知， 在上零点的个数为1．（2）由（1）知，当时， ＞0，当时， ＜0．∴当时， =求导，得在， 上恒成立． ①当时， min= 极小值= ，故“在上恒成立”，只需 ．②当时，当时， 在上恒成立，综合①②知， 的取值范围是．

试题解析:（Ⅰ）∵，

∴，

①当时，

在时， ，

在时， ，

故在上是减函数，在上是增函数；

②当时，

在时， ，

在时， ，

故在上是增函数，在上是减函数；

（Ⅱ）（1）当时，函数 ，

求导，得，

当时， 恒成立，

当时， ，

∴ ，

∴在上恒成立，故在上单调递减．

又， ，

曲线在[1，2]上连续不间断，

∴由函数的零点存在性定理及其单调性知，唯一的∈（1，2），使，

所以，函数在上零点的个数为1．

（2）由（1）知，当时， ＞0，当时， ＜0．

∴当时， =

求导，得

由函数在上是增函数，且曲线在上连续不断知：

在， 上恒成立．

①当时， 上恒成立，

即在上恒成立，

记， ，则， ，

当 变化时， ， 变化情况列表如下：

		3
		0
		极小值

∴min= 极小值= ，

故“在上恒成立”，只需 ，即．

②当时， ，

当时， 在上恒成立，

综合①②知，当时，函数在上是增函数．

故实数的取值范围是．