题目内容
7．
如图，已知AB是圆O的直径，直线CD与圆O相切于点C，AC平分∠DAB，AD与圆O相交于点E（1）求证：AD⊥CD
（2）若AE=3，CD=2，求OC的长．
分析 （1）连接BC．由直线CD与⊙O相切于点C，可得∠DCA=∠B．再利用角平分线的性质可得：△ACD∽△ABC，可得∠ADC=∠ACB，即可证明．
（2）利用切割线定理得：DA．由（1）知：AD⊥CD，可得AC，又由（1）知：△ACD∽△ABC，$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，JK DC．
解答 （1）证明：连接BC．
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠DCA=∠B．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB．
故△ACD∽△ABC，∴∠ADC=∠ACB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．
（2）解：由切割线定理得：DA×DE=DC2，即DA×（DA-3）=4，
解得：DA=4．
由（1）知：AD⊥CD，∴AC2=AD2+CD2=20，
又由（1）知：△ACD∽△ABC，∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴AB=$\frac{A{C}^{2}}{AD}$=5．∴OC=$\frac{AB}{2}$=$\frac{5}{2}$．
点评 本题考查了圆的切线的性质、切割线定理、相似三角形的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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9．命题p：?x∈R，x2+x≤1的否定￢p为（ ）
| A． | $?{x_0}∈R，x_0^2+{x_0}≥1$ | B． | ?x∈R，x2+x≥1 | ||
| C． | $?{x_0}∈R，x_0^2+{x_0}＞1$ | D． | ?x∈R，x2+x＞1 |
在△ABC中，D是AB的中点，AB=2，CD=$\sqrt{7}$．