Question

已知函数．
(Ⅰ) 求的单调区间；
(Ⅱ) 求所有的实数，使得不等式对恒成立．

Answer 1

（Ⅰ）当a≤0时， f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当a＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－]、[，＋∞)，f(x)的减区间是[－，]；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）本小题首先求函数的导数，利用导数的正负求解原函数的单调区间，注意参数的范围，通过分情况讨论可以分别得出函数的增减区间；（Ⅱ）根据第一问可知函数在区间上的单调性，进而可以求得函数在区间上的的最大值和最小值，然后让，即可解得参数的取值范围.
试题解析：(Ⅰ)  f′(x)＝3x²－3a．
当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，故f(x)的增区间是(－∞，＋∞)．
当a＞0时，由f′(x)＞0，得    x＜－ 或 x＞，
故f(x)的增区间是(－∞，－]和[，＋∞)，f(x)的减区间是[－，]．    7分
(Ⅱ) 当a≤0时，由(Ⅰ)知f(x)在[0，]上递增，且f(0)＝1，此时无解．
当0＜a＜3时，由(Ⅰ)知f(x)在[0，]上递减，在[，]上递增，
所以f(x)在[0，]上的最小值为f()＝1－2a．
所以
即
所以a＝1．
当a≥3时，由(Ⅰ)知f(x)在[0，]上递减，又f(0)＝1，所以
f()＝3－3a＋1≥－1，
解得a≤1＋，此时无解．
综上，所求的实数a＝1．    15分