Question

（2012•石家庄一模）三棱锥的三组相对的棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长各为

2

、m、n，其中m²+n²=6，则该三棱锥体积的最大值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  8 3

  27

• C．

  3

  3

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：三棱锥扩展为长方体，三棱锥的体积转化为长方体的体积与四个三棱锥的体积的差，推出B不正确，则C不正确，通过特殊图形说明D正确．

解答：解：如图设长方体的三度为，a，b，c；所以
所求三棱锥的体积为：abc-4×

1

3

×

1

2

abc=

1

3

abc．
a²+b²=2，b²+c²=n²，a²+c²=m²，
所以2（a²+b²+c²）=n²+m²+2=8．
a²+b²+c²=4．
因为4≥3

3	(abc)2

，abc≤

( 4 3 )3

=

8 3

9

此时a=b=c，与n²+m²=6，a²+b²=2，矛盾，所以选项B不正确；
则C不正确；
当底面三角形是等腰三角形时，m=n=

3

，
不难求出三棱锥体积的最大值为：

2

3

．
故选D．

点评：本题考查几何体的体积的求法，扩展为长方体是解题的关键，考查基本不等式的应用，转化思想与计算能力．