Question

已知函数f（x）=msinx+ncosx，且是它的最大值（其中m，n为常数且mn≠0），给出下列命题：
①是偶函数； ②； ③函数f（x）的图象关于点对称；
④是f（x）的最大值；⑤记函数f（x）的图象在y轴右侧与直线的交点按横坐标从小到大依次为P₁，P₂，P₃，P₄，…，则|P₂P₄|=π．
其中真命题的是    ．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

【答案】分析：由题意可得f（x）=sin（x+π ）对于①，由于 f（x+π ）=cosx，是偶函数；对于②，由tanφ==1，可判断；
对于③，由于当x=π 时，f（x）=0，可判断；
对于④，由于 f（-π ）=sin（-π）=- 可判断．
对于⑤，函数f（x）的图象即把函数 y=sinx的图象向左平移π个单位得到的，故|P₂P₄|等于一个周期
解答：解：由于函数f（x）=msinx+ncosx=sin（x+φ），且f（π  ）是它的最大值，
∴π+φ=2kπ+π，k∈z，
∴φ=2kπ+π，∴tanφ==1．
∴f（x）=sin（x+2kπ+π ）=sin（x+π ）
对于①，由于 f（x+π  ）=sin（x+π ）=cosx，是偶函数，故①正确．
对于②，由tanφ==1，可得②正确．
对于③，由于当x=π 时，f（x）=0，故函数f（x）的图象关于点（π，0）对称，故③正确．
对于④，由于  f（-π ）=sin（-π）=- 是 函数f（x）的最小值，故 ④正确．
对于⑤，函数f（x）的图象即把函数 y=sinx的图象向左平移π个单位得到的，故|P₂P₄|等于一个周期2π，故 ⑤不正确．
 故答案为：①②③
点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的最值，对称性，奇偶性，函数图象的变换，辅助角公式的应用，是解题的关键．