Question

（1）如图，对于任一给定的四面体A₁A₂A₃A₄，找出依次排列的四个相互平行的α₁，α₂，α₃，α₄，使得A_i∈α_i（i=1，2，3，4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面α₁，α₂，α₃，α₄，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A₁A₂A₃A₄ 的四个顶点满足：A_i∈α_i（i=1，2，3，4），求该正四面体A₁A₂A₃A₄的体积．

Answer 1

分析：（1）先取A₂A₄的三等分点p₂，p₃，A₁A₃的中点M，A₂A₄，的中点N，过三点A₂，P₂，M，作平面α₂，过三点p₃，A₃，N作平面α₃，先得到两个平行平面，再过点A₁，A₄，分别作平面α₁，α₄，与平面α₃平行即可．
（2）直接利用（1）中的四个平面以及四面体，建立出以△A₂A₃A₄的中心O为坐标原点，以直线A₄O为y轴，直线OA₁为Z轴的直角坐标系，求出各点对应坐标，求出平面A₃P₃N的法向量，利用α₁，α₂，α₃，α₄相邻平面之间的距离为1求出正四面体的棱长，进而代入体积公式求出体积即可．

解答：解：（1）如图所示，取A₁A₄的三等分点p₂，p₃，A₁A₃的中点M，A₂A₄，的中点N，
过三点A₂，P₂，M，作平面α₂，过三点A₃，P₃，N作平面α₃，
因为_A2P2∥NP3，A₃P₃∥MP₂，所以平面α₂∥α₃，
再过点A₁，A₄，分别作平面α₁，α₄，与平面α₃平行，
那么四个平面α₁，α₂，α₃，α₄依次互相平行，
由线段A₁A₄被平行平面α₁，α₂，α₃，α₄截得的线段相等知，其
中每相邻两个平面间的距离相等，故α₁，α₂，α₃，α₄为所求平面．


（2）：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面每相邻两平面之间的距离为1，
则正四面体A₁A₂A₃A₄就是满足题意的正四面体．
设正四面体的棱长为a，以△A₂A₃A₄的中心O为坐标原点，以直线A₄O为y轴，直线OA₁为Z轴建立如图所示的右手直角坐标系，
则A₁（0，0，

6

3

a），A₂（-

a

2

，

3

6

a，0），A₃（

a

2

，

3

6

a，0），A₄（0，-

3

3

a，0）．
令P₂，P₃为．A₁A₄的三等分点，N为A₂A₄的中点，有P₃（0，-

2 3

9

a，

6

9

a），N（-

a

4

，-

3

12

a，0），
所以

P3N

=（-

a

4

，

5 3

36

a，-

6

9

a），

NA3

=（

3

4

a，

3

4

a，0），

A4N

=（-

a

4

，

3

4

a，0）
设平面A₃P₃N的法向量

n

=（x，y，z），有

n • p3N =0  n • NA3 =0

即

9x-5 3 y+4 6 z=0 3x+ 3 y=0

，
所以

n

=（1，-

3

，-

6

）．因为α₁，α₂，α₃，α₄相邻平面之间的距离为1，
所以点A₄到平面A₃P₃N 的距离

|(- a 4 )×1+ 3 4 a×(- 3 )+0×(- 6 )|

1+(- 3 )2+(- 6 )2

=1，解得a=

10

，
由此可得，边长为

10

的正四面体A₁A₂A₃A₄满足条件．
所以所求四面体的体积V=

1

3

Sh=

1

3

×

3

4

a2×

6

3

a=

2

12

a³=

5 5

3

．

点评：本题考查平面和平面之间的关系以及四面体的体积公式的应用．是道难题，第一问的关键点在与设出A₂A₄的三等分点p₂，p₃，过这二个点先作两个过已知点的平行平面，另两个平面就好求了．