Question

（1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面，使得，且其中每相邻两个平面间的距离都相等；

（2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体的四个顶点满足，求该正四面体的体积.

Answer 1

【解析】

（1）如图所示，取的三等分点，，的中点，

的中点，过三点，，作平面，过三点，，作平面，因为∥,∥,所以平面∥平面，再过点，分别作平面，与平面平行，那么四个平面，，，依次相互平行，由线段被平行平面，，，截得的线段相等知，期中每相邻两个平面间的距离相等，故，，，为所求平面.

（2）解法一：当（1）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两平面之间的距离为1，则正四面体就是满足题意的正四面体.设正四面体的棱长为，以的中心为坐标原点，以直线为轴，直线为轴建立如图的右手直角坐标系，

则，，，

令，为的三等分点，为的中点，有

，,所以，，

设平面的法向量为，有，即

所以，.因为，，，相邻平面之间的距离为1，所以点到平面的距离

，解得

由此可得，边长为的正四面体满足条件.

所以所求正四面体的体积.

解法二：如图，现将此正四面体置于一个正方体中，（或者说，在正四面体的四个面外侧各镶嵌一个直角正三棱锥，得到一个正方体），

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

，分别是，的中点，和是两个平行平面，若其距离为1，则正四面体即为满足条件的正四面体.右图是正方体的上底面，现设正方体的棱长为，若，则有，

据，得，

于是正四面体的棱长，其体积.

（即等于一个棱长为的正方体割去四个直角正三棱锥后的体积）