Question

已知（1+2x）ⁿ的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）由（1+2x）ⁿ的展开式中，第六项和第七项的二项式系数最大即c_n⁵=C_n⁶且最大，可求n
（2）由（1）可知n=11，设（1+2x）¹¹展开式中系数最大的项第r+1项T_r+1=2^r•C₁₁^r•x^r，令t_r+1=2^r•C₁₁^r，则

tr+1≥tr tr+1≥tr+2

，代入解不等式可求r

解答：解：（1）∵第六项、第七项二项式系数最大
∴c_n⁵=C_n⁶且最大
∴n=11 （4分）
（2）设（1+2x）¹¹展开式中系数最大的项第r+1项T_r+1=2^r•C₁₁^r•x^r，令t_r+1=2^r•C₁₁^r
则

C r 11 2r≥  C r-1 11 2r-1 C r 11 2r≥ C r+1 11 2r+1

，
则7≤r≤8
∵r∈N^*∴r=7或r=8
r=7时，T₈=C₁₁⁷•2⁷•x⁷=42240x⁷
r=8时，T₉=C₁₁⁸•2⁸•x⁸=42240x⁸
即展开式中系数最大的项有两项，即第八项42240 x⁷与第九项42240 x⁸（8分）

点评：本题主要考查了二项 展开式的二项式系数的性质的应用，二项展开式的 系数的应用，及理由数列的单调性求解数列最大（小）项，属于知识的综合应用．