Question

已知（1+2x）ⁿ的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的

5

6

．
（1）求n的值；
（2）求（1+2x）ⁿ的展开式中系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的通项公式求出相邻三项的系数，据题意，列出方程；利用组合数公式求出n的值．
（2）设系数最大的项为第r+1项，令它的系数大于等于第r项的系数同时大于等于第r+1项的系数，列出不等式组，利用组合数公式求出r的值，求出二项式展开式中系数最大的项．

解答：解：（1）根据题意，设该项为第r+1项，则有

C r n 2r=2 C r-1 n 2r-1 C r n 2r= 5 6 C r+1 n 2r+1

（2分）
即

C r n = C r-1 n C r n = 5 3 C r+1 n

亦即

n=2r-1 n! r!(n-r)! = 5 3 n! (r+1)!(n-r-1)!

（4分）
解得

r=4 n=7.

∴n=7．（6分）
（2）设第r+1项系数最大，则有

C r 7 2r≥ C r-1 7 2r-1 C r 7 2r≥ C r+1 7 2r+1

，（8分）
即

2 C r 7 ≥ C r-1 7 C r 7 ≥2 C r+1 7

亦即

2 7! r!(7-r)! ≥ 7! (r-1)!(7-r+1)! 7! r!(7-r)! ≥2 7! (r+1)!(7-r-1)!

（10分）
解得

2 r ≥ 1 8-r 1 7-r ≥ 2 r+1

，
∴

13

3

≤r≤

16

3

r=5，（13分）
∴二项式展开式中系数最大的项为T₆=C₇⁵（2x）⁵=672x⁵．（14分）

点评：求展开式的特殊项问题时采用二项展开式的通项公式、二项展开式的系数最大的项的求法是设出系数最大的项，令该项的系数大于等于它前一项的系数同时等于等于它后一项的系数．