Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为（0，1）、（0，﹣1），动点P满足直线AP与直线BP的斜率之积为，直线AP、BP与直线y＝﹣2分别交于点M、N．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）求线段MN的最小值；

（3）以MN为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（x≠0）．（2）4．（3）是，定点（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．

【解析】

(1)设动点,再根据斜率之积化简方程即可.

(2)分别设关于的的方程,再联立求解的坐标,进而求得关于的解析式,再利用化简,利用基本不等式求解最小值即可.

(3)根据题意可知,再进行根据满足椭圆的方程代入化简求解即可.

（1）设动点P（x,y）,∵A（0,1）,B（0,﹣1）,

∴直线AP的斜率k1,直线BP的斜率,

又k1k2,∴,

∴动点P的轨迹方程为（x≠0）．

（2）设直线AP的方程为y﹣1＝k1（x﹣0）,

直线BP的方程为y+1＝k2（x﹣0）,

由,得,∴M（）,

由,得,∴N（,﹣2）,

由,得|MN|＝||＝||4,

当且仅当,即时,等号成立,

∴线段MN长的最小值为4．

（3）设点Q（x,y）是以MN为直径的圆的任意一点,则,

即,

又k1k2,

∴以MN为直径的圆的方程为,

令x＝0,得（y+2）2＝12,解得y＝﹣2,

∴以MN为直径的圆过定点（0,﹣2+2）或（0,﹣2﹣2）．