Question

某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年产量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.

(1)试将利润y（万元）表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？

（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？

（注： ①“年平均每件成本”中不计广告费支出；②假定每年生产的产品当年全部售出）

Answer 1

解：（1）利润=年收入-年成本-年广告费，售价=×150%+×50%，

收入=（3+32Q）×150%+50%x,

∴y=(3+32Q)×150%+50%x-(3+32Q)-x

=(32Q+3-x)

=(32×+3-x)

=［32×(3-2x+1)+3-x］

=50-(+x+1).

当x=100时,y=50-12(+101)＜0,

∴此时企业亏损.

(2)∵64x+1+x+1≥=16,

∴y=50-(+x+1)≤50-8=42.

当且仅当=x+1,即x=7时取等号.

故当广告投入7万元时，企业年利润最大.

y_max=42.