Question

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且S_n=
（1）求数列{a_n}的通项公式；     
（2）若，求数列{b_n}的前n项和；
（3）数列{k_n}满足k_n+1=3k_n-1，k₁=1，当n≥2时证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）再写一式，两式相减，可得a_n-a_n-1=2，从而可求数列的通项公式；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和；
（3）先用数学归纳法证明当n≥3时，3^n-1＞2n，然后用错位相减法计算，可得结论．
解答：（1）解：∵S_n=，，
∴
∵正项数列{a_n}，∴a_n-a_n-1=2，
∵S₁=，
∴a₁=3，∴a_n=2n+1；
（2）解：∵，∴b_n=
∴①
∴②
①-②整理可得；
（3）证明：①当n=3时，3^3-1＞2•3；
②设n=k（k≥3）时，3^k-1＞2k，则n=k+1时，3^k=3•3^k-1＞6k＞2（k+1）
∴n=k+1时，结论成立，
∴3^n-1＞2n，即
所以
令S_n′=，则
两式相减可得==
∴
∴
∵
∴得证．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查数列与不等式的联系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．