Question

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且an+

1

an

=2Sn，那么S₁₀等于（　　）

• A．

  11

• B．

  10

• C．3
• D．2

  3

Answer 1

分析：由S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且an+

1

an

=2Sn，分别令n=1，2，3，解得a₁=1．a₂=

2

-1.a3=

3

-

2

．由此猜想an=

n

-

n-1

．从而能求出S₁₀．

解答：解：∵S_n是正项数列{a_n}的前n项和，且an+

1

an

=2Sn，
∴a1+

1

a1

=2a1，解得a₁=1．
a2+

1

a2

=2+2a2，解得a₂=

2

-1．
a3+

1

a3

=2

2

+2a3，解得a3=

3

-

2

．
…
由此猜想an=

n

-

n-1

．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=1成立．
②假设当n=k时，成立，即ak=

k

-

k-1

，
则当n=k+1时，ak+1-

1

ak+1

=2

k

+2a_k+1，
解得ak+1=

k+1

-

k

，也成立．
∴an=

n

-

n-1

．
∴S₁₀=1+（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

10

-3）=

10

．
故选B．

点评：本题考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行猜想．