Question

已知动点到点的距离，等于它到直线的距离．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．

（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），由题意得

(x-1)2+y2

=|x+1|，由此能求出点M的轨迹C的方程．

（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点P的坐标由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x2-（2k²+4）x+k²=0．再由根的判别式和根与系数的关系进行求解．

（Ⅲ）题题设能求出|EF|=2，所以△FPQ面积S由均值不等式得到。

解：（Ⅰ）设动点的坐标为，由题意得，，化简得,所以点的轨迹的方程为(或由抛物线定义 解)                                                         ……4分

（Ⅱ）设两点坐标分别为，，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为 ，

由得.

.

因为直线与曲线于两点，所以，．所以点的坐标为.

由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.

当时，有，此时直线的斜率.

所以，直线的方程为，

整理得.于是，直线恒过定点；

当时，直线的方程为，也过点．

综上所述，直线恒过定点．          …………10分

（Ⅲ），面积.

当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为．……13分