Question

某公司试销一种成本价为500元/件的新产品．规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/价），可近似看做一次函数y=kx+b的关系（如图所示）
（1）根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式；
（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S．
①试用销售单价x表示S；
②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大的毛利润？

Answer 1

分析：（1）把点（700，300）和点（600，400）分别代入一次函数y=kx+b，解方程组求得k和b的值，即可得到一次函数y=kx+b的表达式．
（2）由题意可得 S=y•x-500y，化简可得S=-x²+1500x-500000，利用二次函数性质求出函数的最大值以及函数取最大值时x的值．

解答：解：（1）把点（700，300）和点（600，400）分别代入一次函数y=kx+b可得 300=700k+b，且400=600k+b，
解得 k=-1，b=1000，故一次函数y=kx+b的表达式为 y=-x+1000．
（2）∵公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S，则 S=y•x-500y=（-x+1000 ）x-500（-x+1000）=-x²+1500x-500000．
故函数S的对称轴为x=750，满足 500≤x≤800，故当x=750时，函数S取得最大值为62500元，
即当销售单价定为750元/价时，该公司可获得最大的毛利润为62500元．

点评：本题主要考查用待定系数法求直线方程，二次函数性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．