对于任意角α和β.若满足α+β=$\frac{π}{2}$.则称α和β“广义互余．已知sin=-$\frac{1}{3}$.①sinγ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,②cos=$\frac{1}{3}$,③tanγ=-2$\sqrt{2}$,④tanγ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$上述角γ中.可能与角θ“广义互余的是( )A．①②B．②③C．①� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．对于任意角α和β，若满足α+β=$\frac{π}{2}$，则称α和β“广义互余”．已知sin（π+θ）=-$\frac{1}{3}$，①sinγ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；②cos（π+γ）=$\frac{1}{3}$；③tanγ=-2$\sqrt{2}$；④tanγ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
上述角γ中，可能与角θ“广义互余”的是（　　）

A．

①②

B．

②③

C．

①③

D．

②④

分析 ①由已知可得sin²γ+sin²（π+θ）=1，得：$\frac{π}{2}$+γ+θ+2kπ=0，或γ+θ+2kπ=$\frac{π}{2}$（k∈Z），即可判断θ和γ可能是广义互余；
②由于sinθ=sin（γ-$\frac{π}{2}$），解得γ-θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，或γ+θ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，即可得解θ和γ不可能是广义互余；
③解得±sinθ=sin（$\frac{π}{2}$-γ），当sinθ=sin（$\frac{π}{2}$-γ）时，可得θ=$\frac{π}{2}$-γ+2kπ，（k∈Z），可得a和β有可能是广义互余；
④解得cos²γ+sin²θ=1，可得γ-θ=2kπ，可得γ和θ不可能是广义互余．

解答解：∵sin（π+θ）=-$\frac{1}{3}$，可得：sinθ=$\frac{1}{3}$，
∴①sin²γ+sin²（π+θ）=1，可得：$\frac{π}{2}$+γ+θ+2kπ=0，或γ+θ+2kπ=$\frac{π}{2}$（k∈Z），故θ和γ可能是广义互余；
②cos（π+γ）=-cosγ=-sin（π+θ）=sinθ=sin（γ-$\frac{π}{2}$），
∴θ=γ-$\frac{π}{2}$+2kπ，或θ=π-（γ-$\frac{π}{2}$）+2kπ，（k∈Z），
∴γ-θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，或γ+θ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，（k∈Z），
α+β不可能等于90°，θ和γ不可能是广义互余；
③当tanγ=-2$\sqrt{2}$时，可得cosγ=±$\frac{1}{3}$=±sinθ=sin（$\frac{π}{2}$-γ），
当sinθ=sin（$\frac{π}{2}$-γ）时，可得θ=$\frac{π}{2}$-γ+2kπ，（k∈Z），
可得a和β有可能是广义互余；
④当tanγ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，cosγ=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，此时cos²γ+sin²θ=1，γ-θ=2kπ，（k∈Z），
∴γ和θ不可能是广义互余．
故选：C．