Question

给定双曲线．
（1）过点A（2，1）的直线L与所给的双曲线交于两点P₁及P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程．
（2）过点B（1，1）能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q₁及Q₂，且点B是线段Q₁Q₂的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线L的方程代入双曲线方程，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），，根据韦达定理求得x₁+x₂的表达式，表示出x，把x代入直线方程求得y的表达式，再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程即是所求的轨迹方程．
（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，设Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）根据韦达定理表示出x₁+x₂求得k，代入判别式结果小于0，进而断定满足题设中条件的直线不存在．
解答：解：设直线L的方程为y=k（x-2）+1，（1）
将（1）式代入双曲线方程，得：（2-k²）x²+（4k²-2k）x-4k²+4k-3=0，（2）
又设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），，
则x₁，x₂必须是（2）的两个实根，所以有．
按题意，，∴．
因为在直线（1）上，所以．
再由的表达式相除后消去k而得所求轨迹的普通方程为，这就是所求的轨迹方程．

（2）设所求直线方程为y=k（x-1）+1，代入双曲线方程，整理得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，（3）
设必须是（3）的两个实根，
即如果B是Q₁Q₂的中点，
就有（x₁+x₂）=1，，所以有．
综合起来，k应满足．
由第二式解出k=2，但k=2不满足第一式，所以（I）无解．
故满足题设中条件的直线不存在．
点评：本题主要考查了双曲线的应用．解题的结果一定注意放到判别式中进行验证．