Question

设各项都是正整数的无穷数列满足：对任意，有．记．
（1）若数列是首项，公比的等比数列，求数列的通项公式；
（2）若，证明：；
（3）若数列的首项，，是公差为1的等差数列．记，，问：使成立的最小正整数是否存在？并说明理由．

Answer 1

（1）；（2）参考解析；（3）存在5

试题分析：（1）由于数列是首项，公比的等比数列，所以通项公式为.由于数列为递增数列，所以都符合.即可得到数列的通项公式.
（2）由于各项都是正整数的无穷数列，所以利用反正法的思想，反证法排除和即可得到证明.
（3）由各项都是正整数，所以由可得到.所以可得到.从而可得到是公差为1的等差数列.再根据求和公式以及解不等式的知识求出结论.
试题解析：（1），
；
（2）根据反证法排除和
证明：假设，又，所以或
①当时，与矛盾，所以；
②当时，即，即，又，所以与矛盾；
由①②可知．
（3）首先是公差为1的等差数列，
证明如下：
时，
所以，
即
由题设又
即是等差数列．又的首项，所以，，对此式两边乘以2，得

两式相减得
，即，当时，，即存在最小正整数5使得成立．
注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明．