Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右两个焦点分别为F₁，F₂，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点为P，Q，且F₁PF₂Q为正方形．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B作此正方形的外接圆的切线在x轴上的一个截距为-

3 2

4

，求此椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）根据题意可表示出P的坐标和F₁的坐标，利用正方形的性质推断出c=

b

3

，进而利用椭圆a，b和c的关系求得a和b的关系，则椭圆的离心率可得．
（2）先根据B的坐标，利用几何关系求得一条切线的斜率，利用点斜式表示出直线的方程，利用截距求得c，进而求得a和b，则椭圆的方程可得．

解答：解：（1）由题意知：P(0，

b

3

)，设F₁（-c，0）
因为F₁PF₂Q为正方形，所以c=

b

3

即b=3c，∴b²=9c²，即a²=10c²，
所以离心率e=

10

10

（2）因为B（0，3c），由几何关系可求得一条切线的斜率为2

2

，
所以切线方程为y-3c=2

2

x，即y=2

2

x+3c，
因为在轴上的截距为-

3 2

4

，所以c=1，
所求椭圆方程为：

x2

10

+

y2

9

=1

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．求椭圆的离心率时最重要的是：通过挖掘题设的信息，找到椭圆方程中的a，b和c的关系．