Question

19．已知a为实数，f（x）=x³-ax²-4x+4a．
（1）若f'（-1）=0，求a的值及f（x）在[-2，2]上的最值；
（2）若f（x）在（-∞，-2）和[2，+∞）上都是递增的，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（-1），求出a的值，从而求出函数在闭区间的最值即可；
（2）根据二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）依题意得 f'（x）=3x²-2ax-4…（2分）
由f'（-1）=0得$a=\frac{1}{2}$…（3分）
此时有$f（x）=（{x^2}-4）（x-\frac{1}{2}），f'（x）=3{x^2}-x-4$．
由f'（-1）=0得$x=\frac{4}{3}$或x=-1，
又$f（\frac{4}{3}）=-\frac{50}{27}，f（-1）=\frac{9}{2}，f（-2）=0，f（2）=0$，
所以f（x）在[-2，2]上的最大值为$\frac{9}{2}$，最小值为$-\frac{50}{27}$．…（7分）
（2）f'（x）=3x²-2ax-4的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线，
由条件得  $\left\{\begin{array}{l}f'（-2）≥0\\ f'（2）≥0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{8-4a≥0}\\{4a+8≥0}\end{array}\right.$，∴-2≤a≤2，
所以a的取值范围为[-2，2]…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．