Question

17．若cos²θ+2msinθ-2m-2＜0对θ∈R恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． m＜1-$\sqrt{2}$
• B． m＞1-$\sqrt{2}$
• C． 1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$
• D． 1-$\sqrt{2}$＜m≤1

Answer 1

分析 【三角函数法】构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角函数的关系，
将问题化为求f（θ）最大值的问题来解答．
【分离常数法】利用分离常数法求解也可以．

解答 解：【解法一】设f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0对任意的θ都成立，只需函数y=f（θ）的最大值小于零即可；
∵f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1，
∴当-1≤m≤1时，函数的最大值为m²-2m-1＜0，解得1-$\sqrt{2}$＜m≤1；
当m≥1时，函数的最大值为f（1）=-2＜0，
∴m≥1时均成立；
当m≤-1时，函数的最大值为f（-1）=-4m-2＜0，m＞-$\frac{1}{2}$，与题意矛盾，应舍去；
综上，m的取值范围是m＞1-$\sqrt{2}$．
【解法二】不等式cos²θ+2msinθ-2m-2＜0，
∴2m（1-sinθ）＞cos²θ-2，
当sinθ=1时cosθ=0，不等式恒成立；
当sinθ＜1，1-sinθ＞0，
不等式化为m＞$\frac{{cos}^{2}θ-2}{2（1-sinθ）}$对θ∈R恒成立，
设f（θ）=$\frac{{cos}^{2}θ-2}{2（1-sinθ）}$，
则f（θ）=$\frac{-1{-sin}^{2}θ}{2（1-sinθ）}$，sinθ≠1；
设t=sinθ，t≠1，
则g（t）=$\frac{-1{-t}^{2}}{2（1-t）}$=
$\frac{{-（1-t）}^{2}}{2（1-t）}$+$\frac{2（1-t）}{2（1-t）}$-$\frac{2}{2（1-t）}$
=-$\frac{1-t}{2}$+1-$\frac{1}{1-t}$
=-（$\frac{1-t}{2}$+$\frac{1}{1-t}$）+1≥1-2•$\sqrt{\frac{1-t}{2}•\frac{1}{1-t}}$=1-$\sqrt{2}$，
当且仅当t=1-$\sqrt{2}$时取“=”，
∴g（t）≥1-$\sqrt{2}$，
∴实数m的取值范围是m＞1-$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的最值问题，解题时应构造函数，将问题转化为函数恒成立问题来解答，是中档题目．