题目内容

求过曲线xy=a2上任一点的切线在x,y轴上的截距之积.

解：由xy=a2得y=a2x,y′=()′=-,

所以曲线xy=a2上任一点M（x0,y0）的切线的斜率为k=-,

切线方程为y-y0=-（x-x0），即y=-x++y0.

因为M（x0,y0）在曲线xy=a2上，所以y0=.

所以切线方程可写成y=-x+2y0=-x+2y0.

令x=0,解得切线的纵截距为y=2y0,

令y=0，解得切线的横截距为x=2x0,

于是两截距之积为2x0·2y0=4x0y0=4a2.

即曲线xy=a2上任一点的切线在两坐标轴上的两截距之积为4a2.

练习册系列答案
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已知曲线C：xy=1，过C上一点A1（x1，y1）作斜率k1的直线，交曲线C于另一点A2（x2，y2），再过A2（x2，y2）作斜率为k2的直线，交曲线C于另一点A3（x3，y3），…，过An（xn，yn）作斜率为kn的直线，交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1=1，kn=-
xn+1
x
2
n
+4xn
(x∈N*)
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
若曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点A1，A2，…，An，…的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（1）求xn与xn+1的关系式；
（2）若f(x)=
1
x-2
，an=f（xn），求{an}的通项公式；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+…+（-1）nxn＜1（n∈N*）．

若曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为数学公式的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点A1，A2，…，An，…的横坐标构成数列{xn}，其中数学公式．
（1）求xn与xn+1的关系式；
（2）若数学公式，an=f（xn），求{an}的通项公式；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+…+（-1）nxn＜1（n∈N*）．
若曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点A1，A2，…，An，…的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
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7
．
（1）求xn与xn+1的关系式；
（2）若f(x)=
1
x-2
，an=f（xn），求{an}的通项公式；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+…+（-1）nxn＜1（n∈N*）．

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