Question

若曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为kn=-

1

xn+2

的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点A₁，A₂，…，A_n，…的横坐标构成数列{x_n}，其中x1=

11

7

．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）若f(x)=

1

x-2

，a_n=f（x_n），求{a_n}的通项公式；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知kn=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1 xn+1 - 1 xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1xn

，由此可知x_n+1x_n=x_n+2．
（2）由题意知an+1+

1

3

=-2  (an+

1

3

)，由此可知an+

1

3

=(-2)n，所以an=(-2)n-

1

3

．
（3）由题意知(-1)nxn=2•(-1)n+

1

2n- 1 3 •(-1)n

，由此入手能够推导出（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n＜1．

解答：解：（1）kn=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1 xn+1 - 1 xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1xn

∴x_n+1x_n=x_n+2（4分）
（2）an=

1

xn-2

 ，则 an+1=

1

xn+1-2

=

1

xn+2 xn -2

=

xn

2-xn

=-1-2an
∴an+1+

1

3

=-2  (an+

1

3

)（8分）
又a1+

1

3

=-2 ≠0∴{an+

1

3

}为等比数列
∴an+

1

3

=(-2)n
∴an=(-2)n-

1

3

（10分）
（3）xn=2+

1

(-2)n- 1 3

，∴(-1)nxn=2•(-1)n+

1

2n- 1 3 •(-1)n

当n为奇数时，（-1）ⁿx_n+（-1）ⁿ⁺¹x_n+1
=

1

2n+ 1 3

+

1

2n+1- 1 3

=

2n+2n+1

(2n+ 1 3 )(2n+1- 1 3 )

＜

2n+2n+1

2n•2n+1

=

1

2n

+

1

2n+1

（12分）
当n为偶数时，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n
＜

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

+

1

2n

＜

1 2

1- 1 2

=1（13分）
当n为奇数时，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n
＜

1

2

+

1

22

++

1

2n-2

+

1

2n-1

-2+

1

2n+ 1 3

=

1

2n+ 1 3

-1＜1
综上，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n＜1．（14分）

点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．