Question

若曲线C：xy=1，过C上一点A_n（x_n，y_n）作一斜率为的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），点A₁，A₂，…，A_n，…的横坐标构成数列{x_n}，其中．
（1）求x_n与x_n+1的关系式；
（2）若，a_n=f（x_n），求{a_n}的通项公式；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）
∴x_n+1x_n=x_n+2（4分）
（2）
∴（8分）
又∴为等比数列
∴
∴（10分）
（3），∴
当n为奇数时，（-1）ⁿx_n+（-1）ⁿ⁺¹x_n+1
=
=（12分）
当n为偶数时，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n
（13分）
当n为奇数时，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n

=
综上，（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n＜1．（14分）
分析：（1）由题设条件知，由此可知x_n+1x_n=x_n+2．
（2）由题意知，由此可知，所以．
（3）由题意知，由此入手能够推导出（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）ⁿx_n＜1．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．