Question

椭圆C：的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：解：（Ⅰ）由题意可知2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3，，由此可求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．因为A，B关于点M对称．所以解得，由此可求出直线l的方程．
（Ⅱ）解法二：设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．由题意x₁≠x₂且，①，②
由①-②得③因为A、B关于点M对称，所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，代入③得直线l的斜率为，由此可求出直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF₁|+|PF₂|=6，a=3．
在Rt△PF₁F₂中，，
故椭圆的半焦距c=，
从而b²=a²-c²=4，
所以椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）解法一：
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
已知圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，
所以圆心M的坐标为（-2，1）．
从而可设直线l的方程为
y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得
（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以
解得，
所以直线l的方程为，
即8x-9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意）
（Ⅱ）解法二：
已知圆的方程为（x+2）²+（y-1）²=5，
所以圆心M的坐标为（-2，1）．
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题意x₁≠x₂且，①，②
由①-②得③
因为A、B关于点M对称，
所以x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
代入③得=，
即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为y-1=（x+2），
即8x-9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意．）
点评：本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题，避免错误．