Question

在直角坐标系中，点，点为抛物线的焦点，
线段恰被抛物线平分．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）过点作直线交抛物线于两点，设直线、、的斜率分别为、、，问能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ），，能成公差不为零的等差数列，直线的方程为：

试题分析：（Ⅰ）焦点的坐标为，线段的中点在抛物线上，
∴，，∴(舍) ．                                ……3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线：，．
设方程为：，、，则
由得：，
，∴或．，                   ……5分
假设，，能成公差不为零的等差数列，则．
而
，                              ……7分
，∴，，解得：（符合题意），
（此时直线经过焦点，，不合题意，舍去），
直线的方程为，即． 
故，，能成公差不为零的等差数列，直线的方程为：.             ……10分
点评：解决直线与圆锥曲线的位置，一般免不了联立直线方程和圆锥曲线方程，此时运算量比较大，要仔细运算，而且联立之后，不要忘记验证判别式大于零.