题目内容

（2013•房山区二模）在数列{an}中，如果对任意的n∈N*，都有
an+2
an+1
-
an+1
an
=λ（λ为常数），则称数列{an}为比等差数列，λ称为比公差．现给出以下命题：
①若数列{Fn}满足F1=1，F2=1，Fn=Fn-1+Fn-2（n≥3），则该数列不是比等差数列；
②若数列{an}满足an=3•2n-1，则数列{an}是比等差数列，且比公差λ=0；
③等比数列一定是比等差数列，等差数列一定不是比等差数列；
④若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{anbn}是比等差数列．
其中所有真命题的序号是
①②
①②
．
分析：①斐波那契数列{Fn}，根据斐波那契数列的性质进行化简变形，看其是否满足比等差数列的定义；
②若an=3•2n-1，代入
an+2
an+1
-
an+1
an
进行求解看是否是常数，可得答案；
③根据等比数列的定义可知
an+2
an+1
=
an+1
an
，满足比等差数列的定义，若等差数列为an=n，看其是否满足
an+2
an+1
-
an+1
an
=λ（λ为常数）；
④如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，设an=n，bn=2n，看其是否满足比等差数列的定义．
解答：解：解：①由题意知，数列{Fn}为斐波那契数列{Fn}，
an+2
an+1
-
an+1
an
=
an+1+an
an+1
-
an+an-1
an
≠常数，不满足比等差数列的定义，故①正确；
②若an=3•2n-1，则
an+2
an+1
-
an+1
an
=
3•2n+1
3•2n
-
3•2n
3•2n-1
=2-2=0，满足比等差数列的定义，故②正确；
③等比数列都有
an+2
an+1
-
an+1
an
=0，满足比等差数列的定义，若等差数列为an=1，则有
an+2
an+1
-
an+1
an
=0，故③不正确；
④如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，设an=n，bn=2n，
则
an+2
an+1
-
an+1
an
=
(n+2)•2n+2
(n+1)•2n+1
-
(n+1)•2n+1
n•2n
=
2(n+2)
n+1
-
2(n+1)
n
=-
2
n(n+1)
≠常数，不满足比等差数列的定义，故④不正确；
故答案为：①②
点评：本题考查新定义，解题时应正确理解新定义，同时注意利用列举法判断命题为假，属于难题．
练习册系列答案
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1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1，则该函数的对称中心为
(
1
2
，1)
(
1
2
，1)
，计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012
．
（2013•房山区二模）已知函数f(x)=(x2+x-a)e
xa
（a＞0）．
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