Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）求平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）将B₁C₁平移到BC，∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，在三角形A₁BA内建立等式，解之即可；
（2）取A₁B的中点E，连接B₁E，过E作EF⊥BC₁于F，连接B₁F，B₁E⊥A₁B，A₁C₁⊥B₁E，得到∠B₁FE就是平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的平面角，在△B₁EF中解出此角即可．

解答：解：（1）∵BC∥B₁C₁，∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，
即∠A₁BC=60°，（2分）
连接A₁C，又AB=AC，则A₁B=A₁C∴△A₁BC为等边三角形，（4分）
由AB=AC=1，∠BAC=90°?BC=

2

，
∴A1B=

2

?

1+a2

=

2

?a=1；（6分）
（2）取A₁B的中点E，连接B₁E，过E作EF⊥BC₁于F，
连接B₁F，B₁E⊥A₁B，A₁C₁⊥B₁E?B₁E⊥平面A₁BC₁?B₁E⊥BC₁
又EF⊥BC₁，所以BC₁⊥平面B₁EF，即B₁F⊥BC₁，
所以∠B₁FE就是平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的平面角．（8分）
在△B₁EF中，∠B₁EF=90°，B1E=

2

2

，B1F=

1× 2

3

，∴sin∠B1FE=

B1E

B1F

=

3

2

?∠B₁FE=60°，（10分）
因此平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的大小为60°．

点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．