Question

定义数列{a_n}：a₁=1，当n≥2时，其中r≥0常数．
（Ⅰ）若当r=0时，S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（1）求：S_n；
（2）求证：数列{S_2n}中任意三项均不能构成等差数列；
（Ⅱ）求证：对一切n∈N^*及r≥0，不等式恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先计算数列的前8项猜想数列的特点，数列{a_2k-1}、{a_2k}（k∈N^*）均为等比数列，从而利用等比数列的求和公式求解即可；对于否定性的结论的证明，往往利用反证法证明；
（1）欲证此不等式恒成立，先对左边式子利用拆项法求和，后再进行放缩即得．
解答：解：（1）当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8．
从而猜出数列{a_2k-1}、{a_2k}（k∈N^*）均为等比数列． （2分）
∵a_2k=a_2k-1=2a_2k-2，a_2k+1=2a_2k=2a_2k-1，
∴数列{a_2k-1}、{a_2k}（k∈N^*）均为等比数列，∴a_2k-1=a_2k=2^k-1． （4分）
①∴S_2k=2（a₁+a₃+a₅++a_2k-1）=2（2^k-1）=2^k+1-2，S_2k-1=S_2k-2+a_2k-1=2^k-2+2^k-1=3×2^k-1-2，
∴．（6分）
②证明（反证法）：假设存在三项
S_m，S_n，S_p（m，n，p∈N^*，m＜n＜p）是等差数列，
即2S_n=S_m+S_p成立．
因m，n，p均为偶数，
设m=2m₁，n=2n₁，p=2p₁，（m₁，n₁，p₁∈N^*），
∴，
即，
∴，
而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾；（10分）
（2）∵a_2k=a_2k-1+r=2a_2k-2+r，
∴a_2k+r=2（a_2k-2+r），∴{a_2k+r}是首项为1+2r，
公比为2的等比数列，∴a_2k+r=（1+2r）•2^k-1．
又∵a_2k+1=2a_2k=2（a_2k-1+r），∴a_2k+1+2r=2（a_2k-1+2r），
∴{a_2k-1+2r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，
∴a_2k-1+2r=（1+2r）•2^k-1． （12分）
∴
=
=，
∴
=．
∵r≥0，∴．
∴． （16分）
点评：本题主要考查了等差数列、等比数列、不等式证明中的反证法与放缩法以及数列的求和，是一道综合性很强的题目，属于难题．