Question

已知等比数列{a_n}前n项和为S_n，且a₁=1，S₆=28S₃，各项均为正数的等差数列{b_n}的前n项和为T_n且T₃=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式和b₂；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n；
（3）在（2）的条件下证明

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由题意可求q，进而得{a_n}的通项公式，再由等差数列的性质易得b₂的值；
（2）由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，可求数列{b_n}的公差，即得数列{b_n}的通项为b_n=2n+1，可求和；（3）由（2）知

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，符合用裂项相消法求和，即得结论．

解答：解：（1）由已知得S6=S3+q3S3=28S3∴q3=27∴q=2∴an=3n-1
又{b_n}为各项均为正数的等差数列，所以T₃=3b₂=15，∴b₂=5
（2）∵a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，
设等差数列{b_n}的公差为d
∴（3+5）²=（6-d）（14+d）
∴d=2，d=-10（舍去）
∴b_n=2n+1，b₁=3
∴Tn=

(3+2n+1)n

2

=n(n+2)
（3）由（2）知

1

Tn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

点评：本题为等差等比数列的综合应用，涉及裂项相消法，准确利用公式是解决问题的关键，属中档题．