Question

已知两点A（-2，0），B（0，2），点C是圆x²+y²-2x=1上任意一点，则△ABC面积的最小值是

1

．

Answer 1

分析：先由A和B的坐标，确定出直线AB的解析式，再把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离d，用d-r求出圆上到直线AB距离最小的点到直线AB的距离，即为所求的C点，三角形ABC边AB边上的高即为d-r，故利用两点间的距离公式求出线段AB的长度，利用三角形的面积公式即可求出此时三角形的面积，即为所求面积的最小值．

解答：解：∵A（-2，0），B（0，2），
∴直线AB解析式为：y-2=

2-0

0-(-2)

x，即x-y+2=0，
把圆的方程化为标准方程得：（x-1）²+y²=2，
∴圆心坐标为（1，0），半径r=

2

，
可得圆心到直线AB的距离d=

3

2

=

3 2

2

，
∴圆上点到直线AB最小距离为d-r=

3 2

2

-

2

=

2

2

，
又|AB|=

(-2-0)2+(0-2)2

=2

2

，
则△ABC面积的最小值S=

1

2

|AB|•（d-r）=

1

2

×2

2

×

2

2

=1．
故答案为：1

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线的两点式方程，圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，其中得出d-r（d为圆心到直线AB的距离，r为圆的半径）为圆上的点到直线AB距离的最小值是解本题的关键．